तीन गणितीय पहेलियाँ

यहाँ हम फिर तीन ऐसी पहेलियाँ दे रहे हैं, जिनमें अंकों के बदले अक्षरों का प्रयोग किया गया है। हर अलग-अलग अंकों के बदले अलग-अलग अक्षरों का प्रयोग किया गया है, और किसी अंक के लिए हर जगह उसी अक्षर का प्रयोग किया गया है। 

1. बार-बार
निम्नलिखित भिन्न पर ध्यान दीजिए, जिसमें परिणाम में दशमलव के कुछ अंक बार-बार दोहराये जाते हैं-

- - -

------- = .ANDAGAINANDAGAIN......

TIME

आपकी सुविधा के लिए बता दें कि भिन्न में अंश के अन्तिम दो अंक समान हैं।
बताइये कि AGAIN का संख्यात्मक मान क्या है?

2. नाम में क्या रखा है?
प्रो. लाल क्लब में खाना खाकर बैठे ही थे कि एक दादा टाइम आदमी उनके कमरे में घुस आया और बिना अभिवादन किये यों बोलने लगा- ”मेरा नाम TED MARGIN है। इसके अक्षरों को अलग-अलग तरीकों से लिखने पर GREAT MIND भी बनता है और GRAND ITEM भी। लेकिन मैं कहना चाहता हूँ कि मेरे नाम का प्रत्येक अक्षर 1 से 9 तक के किसी एक अंक के बराबर है और यह भी जान लो कि
A×R×M
---------- = 2
A+R+M
इसके अलावा TED=MAR+GIN और MAD बड़ा है ART से, हालांकि RAT दोनों से बड़ा है। तुम्हें यह भी बता दूँ कि अगर मैं तुम्हें बता दूँ कि इनमें M किस अंक के बराबर है, तो तुम मेरे नाम के सभी अक्षरों और 1 से 9 तक के अंकों में तुरन्त सही-सही सम्बंध बना लोगे।“
वह और भी बहुत कुछ बकना चाहता था, लेकिन तभी एक बेयरा आकर उसे पकड़कर बाहर ले गया। प्रो. लाल चकरा गये। क्या आप बता सकते हैं कि उस आदमी के नाम के अक्षर किस-किस अंक के बराबर हैं?

3. दो चश्मी हे-हे
प्रो. दास निम्नलिखित समीकरण पर कार्य कर रहे थे-
A^B = CD^E
जहाँ प्रत्येक अक्षर किसी अंक को व्यक्त करता है और B E का एक गुणक है।
वे बड़बड़ाये- ”ओह ! इसके तो बहुत से हल हैं, जैसे- 7⁶ = 49³ तथा अगर A=9 तो हम ले सकते हैं- 9⁴=81² या 9⁶=81³.“ यह कहते-कहते उन्होंने अपना मुँह बिचकाया और अपना चश्मा धारण किया। इतना करते ही उन्हें जो दिखायी दिया, वह इस प्रकार था-
AA^BB = CCDD^EE
”हा, यह है कोई समीकरण!“ वे खुश हो गये, ”इसका एक ही हल होना चाहिए।“
यदि A, B, C, D तथा E अलग-अलग अंकों को व्यक्त करते हों, B E का कोई गुणक हो और E 1 के बराबर न हो, तो बताइये कि ABCDE किस संख्या को व्यक्त करता है?